Победа афинян над персами положила конец мидийским войнам (в 479 г. до н.э.) и закрепила господство Афин над другими греческими городами. Афины достигли величайшего экономического подъема и невиданного культурного расцвета. Демократия, установленная в YI в. до н.э. законодателями Солоном и Клисфеном, укрепилась в Y в. под эгидой Перикла, и это стимулировало развитие всех областей человеческих знаний.

В те годы появилась первая крупная афинская школа - это школа софистов, профессиональных странствующих учителей, добывающих средства к существованию в обмен на свои знания. Софистика - это использование умышленно ложных умозаключений для доказательств; умышленное усложнение и запутывание вопроса во время спора или дискуссии. Софисты, или, как их еще называют, учителя беспринципной диалектики, вовлекали сограждан в словесные дискуссии, часто происходившие на народных собраниях, и учили спорящих обосновывать свою точку зрения. В результате развивалось искусство диалога, умение логически мыслить, повышался интерес к строгим математическим доказательствам.

В конце Y в. до н.э. на смену материалистической системы ионийцев и атомистов пришла идеалистическая философия Сократа (469-399 гг. до н.э.), который возглавил движение софистов. Другие известные философы того времени, например Платон и Аристотель, сурово их критиковали; они видели в них лишь пустых спорщиков.

После расцвета наступил период упадка Афин. Город был ослаблен Пелопоннесской войной и другими многочисленными войнами с греческими городами. Автономии Афин угрожал царь Филипп Македонский, и демократия переживала кризис. И вот Платон (427-347 гг. до н.э.), ученик Сократа, решил спасти Афины обучением философии и проповедью добродетели. Около 377 г. до н.э. он основал философскую школу, получившую название Академии, которая в течение целого века руководила всей интеллектуальной жизнью города. Она просуществовала до 529 г. н.э. - даты ее закрытия христианским императором Юстинианом, который счел невозможным терпеть ее языческие идеи.

Предназначенная для обучения, для философских и научных исследований, Академия в основном была организована как учебное учреждение, но располагала также жилыми помещениями и местом для прогулок. Не будучи сам математиком, Платон уделял математике важное место в своей воспитательной системе и энергично поощрял ее изучение. По преданию, над входом в Академию была надпись: «Пусть не входит никто, не знающий математики».

Платон ставил вопрос о природе и структуре математики. Его ученики первыми полностью осознали абстрактный характер математических объектов. Они различали реальный мир и мир идей. В то время как чувственные объекты подвержены изменениям и воспринимаются только субъективно, их модели незыблемы, постоянны и универсальны. И конечно, именно в мире идей философы Академии искали истинное знание, поскольку они хотели знать то, что вечно, а не то, что в данный момент родится и умирает. Их интересовали свойства идеальной окружности, а не мимолетная природа кругов на воде. Прямая, проведенная палкой на песке, является лишь несовершенным образом абстрактной прямой. Этот несовершенный рисунок дает только некоторое представление об идеальной прямой, объекте математического знания. Поскольку идеи вечны и предшествуют всякому опыту, они постижимы интуитивно как объекты, которые можно созерцать мысленно.

Такое восприятие математики, при котором она отделена от физического мира, имело последствия в плане доказательств: всякое обращение к опыту отныне запрещалось. Ученики Платона ратовали за то, чтобы использовать лишь дедуктивные рассуждения (от общего к частному), и этот выбор радикально изменил математику. Причины такого выбора лежали в поисках греческими философами вечной и незыблемой истины. Дело в том, что рассуждения по аналогии (сходству) или индукции (от частного к общему) не дают никакой уверенности в окончательном результате, в то время как дедукция приводит к абсолютно достоверным результатам, правда, если посылки были верны.

В трудах Платона содержалось и несколько интересных физических идей, в том числе он внес определенный вклад в учение о свете. Однако в историю науки он вошел в основном как философ-идеалист (идеализм - философское направление, которое считает возникновение идеи, сознания, духа первичным, а природу, материю - вторичным в противоположность материализму). Достоверно известно, что Платон приказывал своим ученикам уничтожать сочинения по диалектике Демокрита.

В те годы соперником Платону выступил крупнейший античный математик и астроном Евдокс Книдский (400 - 355 гг. до н.э.), который основал свою школу в Кизике, и которая соперничала с платоновской Академией. Его теория строения Вселенной довольно интересна и сыграла важную роль в развитии взглядов по этому вопросу.

Представитель греческой классической философии Платон и его последователи считали круговое движение, свойственное небесным телам, «совершенным». Поэтому греческие астрономы представляли сложные движения небесных светил в виде комбинации нескольких круговых, осуществляя моделирование этих сложных в общем-то видимых движений. Первая попытка такого моделирования - теория вращающихся концентрических сфер - была предложена именно Евдоксом. Она состоит в следующем: вокруг центра, в котором находится покоящаяся Земля, вращаются 27 концентрических сфер. На внешней сфере расположены «неподвижные» звезды. С помощью остальных сфер Евдокс объясняет движение Солнца, Луны и пяти планет. Каждое из упомянутых небесных тел неразрывно связано с некоторой равномерно вращающейся сферой, объемлющей другую, ось которой находится под некоторым углом к оси первой. Внутренняя вращающаяся сфера увлекается в своем вращении внешней.

Движение Луны описывается с помощью трех сфер, всех других планет - с помощью четырех сфер. Подбирая скорости и направления вращения сфер, а также углы наклона их осей, ученый пытался построить модель движения светил, близкую к наблюдаемому. Кстати, с помощью системы Евдокса можно было более или менее удовлетворительно описать движение внешних планет- Юпитера и Сатурна. В описании движений планет Евдокс широко использует не только законы математики, но и механики. Основным недостатком гипотезы Евдокса было то, что расстояния от Земли до планет берутся неизменными.

Расширение географических знаний приобретает устойчивый характер в связи с древнегреческой «Великой колонизацией» в VIII-V вв. до н.э. Из городов-государств (полисов), выросших на берегах и островах Эгейского моря, греки в поисках новых земель, годных для жизни и ведения хозяйства, расселялись по всему Средиземноморью - от Северной Африки и Апеннинского полуострова до берегов Пропонтиды (Мраморного моря). Схема освоения новых территорий была следующей: сначала на разведанных путях создавался временной рыбачий поселок или торговое поселение («эмпорий»); если оказывалось, что место для него выбрано удачно, впоследствии он вырастал в колонию. Много таких поселений возникло на европейских и африканских берегах Средиземного моря, по берегам Адриатики, Черного и Азовского морей.

Основную роль в исследовании и колонизации северо-западных берегов Средиземного моря сыграли ионийцы, выходцы с берегов Малой Азии. Их колонии протянулись вдоль восточных и северных берегов Сицилии. Здесь они основали город Мессану (Мессину), а на берегу залива напротив Везувия - город Неаполь.

В восточной части Средиземного моря в середине VIII в. до н.э. все морские пути контролировали мореходы из города Милета. Познакомившись с болотистым устьем Нила, греки выяснили, что очертания берегов здесь напоминают четвертую букву греческого алфавита - дельту, почему эта территория и получила название «дельта», которое со временем стало нарицательным.

Широкие масштабы приобрела древнегреческая колонизация в северном Причерноморье. Выходцы из Милета основали здесь более 50 поселений, часть которых превратилась в крупные города, в том числе Тира, Феодосия, Пантикапей. Древнейшим из них (около 645 г. до н.э.) было поселение на острове Березань (в районе Днепро-Бугского лимана), видимо, называвшееся Борисфениды. Позднее недалеко от него возник город Ольвия - один из крупнейших центров черноморского направления колонизации.

Рыбаки-поселенцы, по всей вероятности, были первыми греками, которые достигли Крыма и через Боспор Киммерийский (Керченский пролив) проходили в Меотиду (мелководное Азовское море) за ценной красной рыбой. В VII в. до н.э. греки посещали и Кавказское побережье Понта (Черного моря). В начале VI в. до н.э. греки-ионийцы основали ряд торговых факторий вдоль северо-западного берега Черного моря, в том числе в районе дельты Дуная (Истра).

Древнегреческие колонии существовали в Крыму на протяжении тысячелетия, а в средние века некоторые из них возродились.

Новооткрытую громадную территорию, населенную различными кочевыми племенами, простиравшуюся от Дуная до Дона, греки называли Скифией. Ее в VII в. до н.э. посетил поэт Аристей. Под впечатлением своего путешествия он создал поэму «Аримаспея», дошедшую до нас в отрывках. Она является древнейшим источником, дающим представление об этой части Восточной Европы, и содержит вполне реалистическое описание облика, быта и обычаев обитавших здесь племен.