В последнее время у нас и за рубежом часто обсуждается вопрос о недостатках традиционных программ преподавания математики в школе. Эти программы не содержат основных принципов и понятий современной математической науки, не обеспечивают должного развития математического мышления учащихся, не обладают преемственностью и цельностью по отношению к начальной, средней и высшей школе.

Во многих странах и в международных организациях ведется работа по усовершенствованию учебных программ. Выдвигаются различные предложения о путях рационального изложения современных математических понятий в школьных курсах (в основном для средней школы). Некоторые предложения представляют, несомненно, большой теоретический и практический интерес (см., например, программу В.Г. Болтянского, Н.Я. Виленкина, И.Л. Яглома [4]; обзор американских исследований в этой области [9], [40], 152] и др.).

Программа в концентрированной форме выражает содержание учебного предмета и способы его развертывания в преподавании. Поэтому попытки изменения программы по сути дела связаны с тем или иным изменением содержания предмета, с поисками новых способов его построения. Построение математики как целостного учебного предмета — весьма сложная задача, требующая приложения совместных усилий педагогов и математиков, психологов и логиков. Важным моментом решения этой общей задачи является выделение понятий, с которых должно начинаться изучение математики в школе. Эти понятия составляют фундамент для построения всего учебного предмета. От исходных понятий, усвоенных детьми, во многом зависит общая ориентировка в математической действительности, что в свою очередь существенно влияет на последующее продвижение в этой области знания. Многие трудности усвоения математики в начальной и средней школе, на наш взгляд, проистекают, во-первых, из-за несоответствия знаний, усваиваемых учащимися, тем понятиям, которые действительно конституируют математические построения, во-вторых, из-за неверной последовательности введения общематематических понятий в школьные курсы.

К сожалению, именно содержание начальных математических понятий и способ их введения при обучении не служат до сих пор предметом развернутого обсуждения и тщательного исследования, хотя только на этой основе можно последовательно и критически проанализировать ныне действующие программы, показать их достоинства и существенные недостатки, наметить новые варианты содержания математики в школе. Работа в этом направлении затрудняется еще тем, что составители программ, как правило, в должной мере не учитывают современных методов психологического и логического анализа процесса усвоения знаний, недооценивают значение этих методов для программирования математики как учебного предмета1.

В своей экспериментальной работе, связанной с построением учебных программ 1171, 1181, 1481, мы столкнулись, в частности, с необходимостью выявления тех понятий, с которых целесообразно начинать преподавание математики в школе. Решение этого вопроса поставило ряд более общих проблем — проблему логической природы исходных понятий самой науки и их соотношения с понятиями, исходными при построении учебного предмета, проблему соотношения научных определений и содержания тех признаков объекта, на которые фактически ориентируется человек, усваивающий эти определения, проблему способов абстрагирования признаков объекта и превращения их в содержание понятий как в ходе исторической выработки знания, так и при его усвоении индивидом и ряд других логико-психологических проблем.

Построение традиционных программ также связано с тем или иным фактическим решением этих вопросов. Однако на первый план авторы программ предпочитают выдвигать не теоретико-познавательные и логико-психологические моменты, а собственно математическую сторону дела — вопросы связи самого математического материала. Впрочем, обсуждение направлений перестройки математического образования в основном также вращается вокруг объема математических знаний, подлежащих включению (или исключению) в программу (см., например, [33]). Логико-психологические вопросы опять остаются в тени, во-первых, из-за их недостаточной выявленности, во-вторых, из-за силы мнения, будто содержание учебного предмета — при всем его своеобразии — является относительно прямой проекцией, лишь неразвернутым сколком с некоторых чисто «научных» сведений (оригинальная критика этого распространенного мнения дана Г.П. Щедровицким [45]).

Вместе с тем рассмотрение собственно математической стороны программ, особенно их начальных разделов, вызывает ряд недоумении именно с точки зрения «большой» математики. Как известно, изучение математики в школе начинается с натурального числа и в течение нескольких лет оно является основой всего преподавания. Выбор такого «начала» чаще всего обосновывается соображениями математического характера, указанием места и роли этого понятия в системе математических знаний и т. п. Но последнее как раз не так уже ясно, как первоначально кажется. Поэтому потребовался анализ математических работ, чтобы выявить некоторые основные особенности числа как математического понятия. Оказалось, что при обосновании числа как «начала» учебного предмета действуют не столько чисто математические аргументы, сколько явные или неявные представления методистов о самой «первичности» некоторых понятий, о возникновении и формировании абстракции как в истории знаний, так и в онтогенетическом процессе их усвоения ребенком, т.е. представления, больше связанные с логикой и психологией, нежели с «чистой» математикой.

В последнее время при модернизации программ особое значение придают подведению теоретико-множественного фундамента под школьный курс (эта тенденция отчетливо проявляется и у нас, и за рубежом). Реализация этой тенденции в преподавании (особенно в начальных классах, как это наблюдается, например, в американской школе [91) неизбежно поставит ряд трудных вопросов перед детской и педагогической психологией и перед дидактикой, ибо сейчас почти нет исследований, раскрывающих особенности усвоения ребенком смысла понятия множества (в отличие от усвоения счета и числа, которое исследовалось весьма многосторонне).

Целесообразно рассмотреть содержание этого понятия в математической литературе, тем более что некоторыми авторами оно не признается за исходное и первичное. В недрах самой математики сейчас существенно переоценивается понятие о ее предмете, об исходных и всеобщих его признаках (работы Н. Бурбаки). Это обстоятельство тесно связано с определением природы самой математической абстракции, способов ее выведения, т. е. с логической стороной проблемы, которую нельзя не учитывать при создании учебного предмета.

Ниже приводятся материалы, почерпнутые из математических источников и характеризующие связь понятий числа и множества с другими математическими понятиями (в частности, с общим понятием структуры). Повторяем, это делается вовсе не для того, чтобы решать какие-либо собственно математические вопросы (большинство из затрагиваемых вопросов уже решено и стало достоянием «широкой» литературы). Задача в другом — сопоставить имеющиеся решения со способами построения учебного предмета с целью выявления некоторых логико-психологических вопросов.

Логические и психологические исследования последних лет (в особенности работы Ж. Пиаже) вскрыли связь некоторых «механизмов» детского мышления с общематематическими понятиями. Мы специально рассматриваем особенности этой связи и их значение для построения математики как учебного предмета (при этом речь пойдет о теоретической стороне дела, а не о каком-либо частном варианте программы)2. В заключение этого раздела кратко перечисляются основные логико-психологические проблемы, рассмотрение которых является предпосылкой работы в области программирования учебного математического материала.

Понятие числа и его связь с другими математическими понятиями

Натуральное число является фундаментальным понятием математики на всем протяжении ее истории; весьма существенную роль оно играет во всех областях производства, техники, повседневной жизни. Это позволяет математикам-теоретикам отводить ему особое место среди других понятий математики. В разной форме высказываются положения о том, что понятие натурального числа — исходная ступень математической абстракции, что оно является основой для построения большинства математических дисциплин³.

Выбор начальных элементов математики как учебного предмета по существу реализует эти общие положения. При этом предполагается, что, знакомясь с числом, ребенок одновременно раскрывает для себя исходные особенности количественных отношений. Счет и число— основа всего последующего усвоения математики в школе⁴.

Однако есть основания полагать, что эти положения, справедливо выделяя особое и фундаментальное значение числа, вместе с тем неадекватно выражают его связь с другими математическими понятиями, неточно оценивают место и роль числа в процессе усвоения математики. Из-за этого обстоятельства, в частности, проистекают некоторые существенные недостатки принятых программ, методик и учебников по математике. Необходимо специально рассмотреть действительную связь понятия о числе с другими понятиями.

С этой целью обратимся к книге Е.Г. Гонина «Теоретическая арифметика» [15], примечательной тем, что значительная ее часть посвящена изложению основных общематематических понятий, на основе которых затем раскрываются свойства числовых систем (предмета теоретической арифметики).

Исходными понятиями выступают здесь множество, элемент множества, подмножество, обладающие определенными свойствами и связями. Существуют некоторые простые способы получения новых множеств из данных (соединение, пересечение, разность). Особая символика фиксирует эти способы и их свойства (например, соединение — A U В; пересечение — А П В; разность — А \ В). Важное значение имеет понятие соответствия между элементами множеств. Соответствие между элементами множеств А и В определяет отображение множества А в множество В, фиксируемое, например, буквой / (иногда вместо отображения говорят о функции, а также об унитарной операции). Вводятся особые условия выполнимости и однозначности отображения (частный случай последнего — взаимно однозначное отображение). Если существует взаимно однозначное отображение А в В, то множество А называется эквивалентным множеству В. С введением понятий эквивалентности и правильной части Множества становятся возможными определения бесконечного и конечного множеств (множество, эквивалентное некоторой своей правильной части, называется бесконечным).

Понятию соответствия родственно понятие соотношения, определенного на множестве. Соотношения обладают такими основными свойствами, как рефлексивность (нерефлексивность, иррефлексивность), симметричность, транзитивность, связность. Обобщением понятия эквивалентности множеств является понятие изоморфизма. Каждое множество обладает таким свойством, как мощность (эквивалентные множества имеют одну и ту же мощность, неэквивалентные — различные мощности). Создание системы натуральных чисел связано с необходимостью описания этого важного свойства множеств.

Наряду с соотношением эквивалентности в математике важную роль играет соотношение порядка (антисимметричное и транзитивное соотношение), через которое определяется понятие упорядоченного множества. С введением понятий сечения, граничного элемента, скачка, пробела и других определяют непрерывное и дискретное упорядоченное множество.

Важнейшим понятием математики, далее, является понятие скалярной, аддитивной, аддитивно-скалярной величины. Частным случаем скалярной величины является мощность множества.

Понятия о бинарной операции и определенных ее свойствах (выполнимость, однозначность, ассоциативность), об обратных операциях позволяют выделить особые виды множеств — полугруппы и группы. Множество со связанными операциями сложения и умножения при определенных условиях является кольцом. Частный случай кольца — тело (при операции деления). Особый вид тела — поле 115, стр. 7—96]5.

Числовые системы определяются на основе указанной цепи понятий. Так, «системой неотрицательных целых чисел называется дискретное точное упорядоченное коммутативное полукольцо с единичным элементом, не являющимся нулевым» [15, стр. 97]; «системой неотрицательных рациональных чисел называется минимальное точное упорядоченное полуполе» [15, стр. 131] и т.д.

Рассмотрение этого перечня понятий позволяет выделить ряд моментов. Прежде всего понятие о числе связано со многими предваряющими его понятиями, в частности с понятиями «множество», «отображение» (функции, операции), «эквивалентность», «мощность». Оно является описанием хотя и весьма важного, но все же лишь частного свойства множеств — их мощности. Таким образом, число в общей конструкции современных математических понятий не является первичным и основным. Важнейшие понятия (множество, величина, группа, кольцо) вводятся до числа и независимо от него. Свойства же самих числовых систем раскрываются на основе других общематематических понятий.

Таково фактическое соотношение понятия числа с другими математическими понятиями. Поэтому не совсем ясны основания некоторых категорических утверждений, будто понятие числа первично, и математика не содержит его определения6. Если при этом имеется в виду отсутствие удовлетворительного определения, то само по себе это не является основанием для утверждения «первичности» числа. Если имеется в виду трудность (или даже невозможность) его определения в пределах арифметики, то это не исключает возможности полноценного определения в пределах всей математики. Если предполагается, что в развитой, готовой теории число вводится (описывается) через систему аксиом, то это не означает отсутствия более широких оснований у самих аксиом — либо в области математики, либо в других областях знания (например, такие основания усматриваются в логике [16]).

Следует иметь в виду, что термин «определение» не является однозначным. Часто его употребляют в формально-логическом смысле, и тогда невозможность построения такого определения отождествляют с «первичностью» соответствующего объекта, с его «невыводимостью». Однако в настоящее время существуют теории определения, не совпадающие с традиционным формально-логическим подходом к нему (см., например, работы Б.М. Кедрова [24] и др.).

Отметим также, что в истории науки делались попытки и поныне делаются многочисленные попытки дать определение понятию числа. Хорошо известно определение Фреге-Рассела (см. его изложение в книге Р.Л. Гудстейна (1б1), возбудившее ряд других поисков. Таким образом, реальные трудности определения числа, как математические, так и логические7, не дают оснований для признания его первичности в общематематической системе понятий.

Правда, можно предположить, что хотя для описания числовых систем и требуются многие предварительные понятия, однако эти системы в совокупности и задают сам предмет математики в его всеобщих особенностях, ибо нечто становится математическим явлением лишь постольку, поскольку оно выражено в числовой форме, дано через число.

Но это предположение не оправдывается. Так, соотношение эквивалентности (рефлексивное, симметричное и транзитивное соотношение) можно обнаружить в равенстве отрезков, в подобии фигур. Примером соотношения порядка (антисимметричное и транзитивное соотношение) является соотношение «меньше» для отрезков, «моложе» для людей, «мягче» для минералов [15, стр. 27, 33]. Здесь предмет математического рассмотрения дан без его предварительного выражения в форме числа. При этом ряд чисел сам является лишь частным случаем указанных соотношений.

Это положение вещей не противоречит по существу фундаментальному значению понятия числа для всей математики и для ее усвоения — важно только правильно оценить конкретное место и связь этого понятия с другими. Высоко оценивая роль числа в общей системе математических знаний, вместе с тем нельзя делать «быстрых» выводов применительно к указанию его места в программе преподавания математики.

Характерно следующее обстоятельство. Методисты (например, Н. С. Попова), полагающие, что преподавание математики в школе необходимо начинать именно со знакомства с натуральным числом, вместе с тем сами отмечают возможность фиксации количественных отношений множеств, не прибегая к счету и даже не умея называть числа. «Изучая развитие числовых представлений в онто- и филогенезе, мы приходим к убеждению, что понятие числа и операция счета возникают одновременно при условии взаимодействия категории количества и категории порядка, хотя обе эти категории могут существовать независимо от числа и счета и независимо одна от другой» [39, стр. 9] «Еще не умея считать, ребенок различает знакомые группы предметов в количестве двух и даже трех... Такое непосредственное восприятие множества свидетельствует о зарождении у ребенка количественных представлений, однако, в это время он еще далек от овладения понятием числа» [39, стр. 11]. В этих высказываниях, с одной стороны, признается производность числа и счета от категорий количества и порядка, независимость последних от первых, с другой — возможность зарождения у ребенка количественных представлений до овладения понятием числа. Однако при построении учебного предмета вновь исходят из того, что в школе «приходится в первую очередь иметь дело с понятием числа (натурального) и с операцией счета» [39, стр. б]. Такой подход к выбору начальных пунктов обучения становится возможным по крайней мере при трех допущениях.

Во-первых, при допущении, что категории количества и порядка хотя и возникают в филогенезе до и независимо от числа, однако с его появлением уже теряют свою самостоятельность, «снимаются» числом настолько, что практически не могут служить основой для формирования математических понятий. Число, как результат взаимодействия этих категорий, воплощает их настолько полно, что сами они могут быть раскрыты именно на числах, последовательность которых, кстати, ребенок быстро и успешно усваивает. Именно внутри числа и счета необходимо выделять их двойственную природу [39, стр. 14].

Во-вторых, до появления числа, и счета количественная оценка совокупностей как в фило-, так и в онтогенезе носит доарифметический характер; «доарифметические операции» связаны с элементарными количественными и порядковыми представлениями (39, стр.10, II]. Возникновение в филогенезе арифметики приводит к сознательному счету и полноценным числовым представлениям [39, стр. 10]. В онтогенезе, который не повторяет полностью филогенеза, очевидно, следует сразу начинать с формирования «сознательного счета» и «полноценных числовых представлений».

Двойственная природа чисел и счета требует особого внимания педагога к «доарифметической» подготовке ребенка, но сама по себе, вне обучения числу и счету, она смысла не имеет.

В-третьих, указанная форма связи числа и счета (полноценных представлений — арифметических огераций) с возникшими до них категориями количества и порядка (неразвитых представлений — доарифметических образований) позволяет положить арифметику (число) в основу овладения всей математикой.

Эти допущения упускают, на наш взгляд, некоторые важные обстоятельства как собственно математического, так и логико-психологического характера.

Прежде всего, как было показано выше, многие общематематические понятия, и в частности понятия соотношения эквивалентности и порядка, систематически рассматриваются в математике независимо от числовой формы. Эти понятия не теряют своего независимого характера: на их основе можно описывать и изучать частный предмет — разные числовые системы, понятия о которых сами по себе не покрывают смысла и значения исходных определений. Причем в истории математической науки общие понятия развивались именно в той мере, в какой «алгебраические операции», известный пример которых доставляют четыре действия арифметики, стали применяться к элементам совершенно не «числового» характера [6, стр. 13]8.

В филогенезе множества и их мощности как объекты определенных практических преобразований, очевидно, были выделены людьми раньше, чем собственно числовая характеристика совокупностей (см., например, соображение И.К. Андронова [3, стр. 6, 11—121), но общие понятия множества и мощности были сформулированы гораздо позже, чем делались попытки теоретически определить число (см., например, замечание Е.Г. Гонина [15, стр. 13]). Конечно, представление о множестве и соотношениях эквивалентности и порядка в древности не имело той теоретической формы, которую имеют современные научные понятия. Но из этого нельзя делать вывод, будто бы «доарифметические» сопоставления совокупностей сами по себе менее значимы, чем «арифметические», а арифметические действия являются более «важной» формой знания, чем «доарифметическое» описание.

Этот момент связан с трудными теоретико-познавательными и логическими проблемами относительно связи всеобщего, особенного и единичного в познании, о соотношении практически-производственной («реальной») абстракции и абстракции теоретической. Применительно к возникновению и развитию математических знаний эти проблемы, к сожалению, до сих пор разработаны недостаточно. Но уже сейчас можно полагать, что хотя арифметика (числовые системы, законы вычислений и т.д.) в определенный период развития человечества была — в связи с конкретными производственными нуждами — ведущей математической дисциплиной, однако развитие производства и самой математики показало ограниченность ее форм фиксации количественных отношений, частный характер ее определений. В свое время эта частная форма как бы «забивала» общие особенности предмета математики и даже казалась более «высокой». Но затем эти особенности были выражены в специфической для них форме и обнаружили такое строение, которое требовало и особых средств описания, не совпадающих с арифметическим изображением математических зависимостей. При этом и сама арифметика (теория чисел) встала на новое место в общей системе математических дисциплин; ее специфические методы и понятия получили необходимую связь с общематематическими и алгебраическими определениям9.

Если в онтогенезе обнаруживаются «доарифметические» способы, то это не является показателем недостаточной сознательности «количественных представлений», а только выражением особого — и не менее значимого — типа их фиксации и анализа, которому может и должна быть придана развернутая форма. И конечно, необходимо правильно сформировать у ребенка понятие о связи «до-арифметических» и «арифметических» операций. Стремление же как можно «быстрее» ввести в обучение частную арифметическую форму выражения математических зависимостей извращает у детей представление об этих зависимостях, о связи общего и частного.

В последнее время делаются попытки развернуть в преподавании этап введения ребенка в математику. Эта тенденция находит свое выражение в методических руководствах, а также в некоторых экспериментальных учебниках. Так, в одном американском учебнике, предназначенном для обучения детей 6—7 лет [51], на первых страницах вводятся задания и упражнения, специально тренирующие детей в установлении тождественности предметных групп. Детям показывается прием соединения множеств, — при этом вводится соответствующая математическая символика (знаки U и +). Работа с числами опирается на элементарные сведения о множествах [51, pp. 16, 82].

Можно по-разному оценивать содержание конкретных попыток реализации этой тенденции, но сама она, на наш взгляд, вполне правомерна и перспективн10.

При выборе исходных пунктов школьного курса математики существенное значение имеет еще одно обстоятельство, касающееся природы математической абстракции и специфики ее предмета. Высоко оценивая стремление А. Лебега к выяснению материального содержания математических понятий, А.Н. Колмогоров вместе с тем упрекает его в недооценке самостоятельности математики. Следуя высказываниям Ф. Энгельса, А.Н. Колмогоров подчеркивает тот момент, что математика «изучает материальный мир с особой точки зрения, что ее непосредственным объектом являются пространственные формы и количественные отношения действительного мира. Сами эти формы и отношения в их чистом виде, а не конкретные материальные тела являются той реальностью, которая изучается математикой» [28, стр. 11].

Конечно, здесь речь идет о математике как науке, однако с этим нельзя не считаться и при построении учебного предмета. Программа этого предмета должна предусматривать такую работу ребенка, благодаря которой он сможет правильно и в должный момент «отойти» от конкретных тел, выделив в них пространственные формы и количественные отношения, придав им «чистый вид». Только на этой основе у него может сформироваться правильное понимание предмета математического знания. Но формировать этот «вид» необходимо при постоянной связи с конкретными телами, действия с которыми придают понятиям их подлинный материальный смысл. В этом своеобразное противоречие начальных этапов преподавания математики (видимо, не только начальных). То, что математик-ученый уже имеет перед собой в «чистом виде», то в голове ребенка предстоит лишь только построить. Этот «вид» не дан ему с самого начала — его надо вывести, получить в процессе определенной работы.

Вместе с тем ясно, что учебный материал, с которым ребенок начинает работать, до поры до времени не может рассматриваться им с точки зрения «чистых» форм и отношений, ибо этой точки зрения у ребенка еще нет. И наоборот, уже при выделенности «чистого вида» сами материальные тела будут выглядеть для человека иначе, нежели до этого.

Как разрешать это противоречие при обучении математике? Какое построение курса и способ введения понятий наиболее соответствуют решению этой задачи? Без ответов на эти вопросы нельзя обоснованно строить и начальные разделы курса. Именно в решении этих вопросов традиционная методика страдает наибольшими дефектами. Она не раскрывает в должной мере те характеристики количественных отношений, выделение которых необходимо для построения в голове ребенка исходных математических абстракций и для дальнейшей работы в плане этих абстракций.

Вопрос о том, с чего начинать курс математики и целесообразно ли его начинать непосредственно с числа, имеет не узко методический и частный смысл, а принципиальное значение с точки зрения формирования у ребенка общих представлений о предмете математики. Можно предполагать, что подлинное значение начальных этапов преподавания как раз и состоит в том, чтобы раскрыть детям общие особенности абстракций, конституирующих предмет дальнейшего изучения, создающих его «чистый вид». Форма и степень этой «чистоты», конечно, не будут непосредственно совпадать с теорией предмета, но нечто сходное по содержанию здесь должно быть, — определение того, в чем именно заключается здесь расхождение и частичное сходство, является объектом логико-психологических и педагогических исследований11.

Во всяком случае, здесь лежит камень, от которого начинаются два пути — либо в сторону действительного математического знания, либо в сторону его «словесно-знаковых» фикций, которые нередко возникают в практике обучения.

Приведенные выше материалы показывают, что в современной математике особое место занимает общее понятие множества. Оно все больше и больше проникает и в чисто школьную литературу, приобретает все больший вес при введении числа. Поэтому целесообразно рассмотреть смысл этого понятия как одного из возможных начальных пунктов преподавания математики.

Понятие Множества и его связь с математическими структурами
Операции на множествах и их свойства

Понятие множества вводится в математику без логического определения. При этом подразумевается следующее: науки, прежде всего, имеют дело с некоторыми объектами, которые объединяются в совокупности, классы, множества. Объекты, принадлежащие множеству, называются элементами этого множества [15, стр. 7—8]. Иногда множество можно точно описать, перечисляя все его элементы. Но для очень обширных множеств это сделать трудно или просто невозможно. Более общий способ задания множеств состоит в том, что указывается правило, позволяющее относительно любого объекта установить, принадлежит он этому множеству или не принадлежит. Это правило (или требование, налагаемое на объекты) связано с некоторым свойством, присущим только тем объектам, которые этому правилу удовлетворяют. Следовательно, «с каждым множеством связано определенное свойство, присущее тем и только тем объектам, которые принадлежат этому множеству» [15, стр. 9]12.

Рассмотрение этого способа введения «множества» показывает, что сам по себе он ничего специфически математического не несет. Действительно, вне математической интерпретации множеств и в повседневной жизни, и в разнообразных научных исследованиях люди постоянно выделяют классы, совокупности, группы объектов и отдельные входящие в эти совокупности элементы. Причем в каждом частном случае свойство, по которому выделяется та или иная группа, определяется как существенное ее качество. Поиск этого свойства («выделение группы») и его отнесение к элементу (включение последнего в «множество») представляет проблему для соответствующих наук (физики, химии, биологии, политэкономии и др.). Еще с древних времен уже в пределах формальной логики были сформулированы правила, позволяющие фиксировать свойства объектов, выделяя сообразно этому свойству некую их группу. Каждое слово, как обобщение, уже фиксирует определенное свойство и выделяет соответствующий ему класс вещей (дом, человек и т. д.). Само выделение совокупности, класса реальных объектов и трактовка их как «множества» еще не указывает специфически математического аспекта в подходе к объектам других наук и практической деятельности. Правда, при этом осуществляется важная абстракция — для «множества» безразлична природа входящих в него элементов, должно лишь быть указано, что к данному множеству принадлежит. Однако такая абстракция сама по себе лежит в пределах формально-логического описания и чисто логических правил, позволяющих производить некоторые соотнесения (например, в силлогизмах), отвлекаясь от «конкретной» природы рассматриваемых объектов13.

Интересное соображение об исторической роли и месте понятия множества в современной математике содержится у Н. Бурбаки: «Мы... не касаемся щекотливых вопросов, полуфилософских, полуматематических, возникших в связи с проблемой «природы» математических «объектов». Ограничимся замечанием, что первоначальный плюрализм в наших представлениях этих «объектов», мыслимых сначала как идеализированные «абстракции» чувственного опыта и сохраняющих всю разнородность этих последних, в результате аксиоматических исследований XIX—XX вв. был заменен единой концепцией, посредством последовательного сведения всех математических понятий сначала к понятию целого числа, затем на втором этапе к понятию множества. Последнее, рассматриваемое долгое время как «первоначальное» и «неопределимое», было объектом многочисленных споров, вызванных характером его исключительной общности и весьма туманной природой представлений, которое оно у нас вызывает. Трудности исчезли только тогда, когда исчезло само понятие множества (и с ним все метафизические псевдопроблемы относительно математических «объектов») в результате недавних исследований о логическом формализме. С точки зрения этой концепции единственными математическими объектами становятся, собственно говоря, математические структуры» [7, стр. 251].

В этом принципиально важном высказывании существен ряд моментов. Прежде всего, отмечается, что сведение всех математических понятий к понятию множества привело к трудностям, причиной которых явились чрезвычайная общность и туманный характер вызываемых этим понятием представлений (под этим, очевидно, следует подразумевать реальные свойства объектов). Эти трудности были преодолены лишь с «исчезновением» самого понятия множества. Поскольку оно все же весьма широко используется (в том числе и Н. Бурбаки), то в этом утверждении, очевидно, имеется в виду «исчезновение» первоначального, исходного, неопределимого характера понятия множества. Единственным математическим объектом являются не множества, а математические структуры14. Понятие множества предполагает определенные свойства таких структур, хотя это вначале может и не обнаруживаться сколько-нибудь отчетливо.

Особое обстоятельство, связанное с математическим исследованием множеств, отмечается Р. Курантом и Г. Роббинсом: «Математическое исследование множеств базируется на том обстоятельстве, что множества, комбинируясь, в результате выполнения некоторых операций отражают новые множества... Изучение операций над множествами включает «алгебру множеств» [26, стр. 163]. Следовательно, образование новых множеств посредством некоторых операций составляет «базу» математического подхода к множеству. Что это за операции? Это «объединение» («логическая сумма»: А + В), «пересечение» («логическое произведение»: АВ) и «дополнение» (ад') множеств [26, стр. 166, 168]15.

Сами по себе эти три операции являются переводом на условный язык весьма обычных связей вещей, которые нашли свое выражение и в формально-логических структурах. Так, объединение в обычной логической терминологии обозначается «или А, или и» (данная вещь принадлежит по крайней мере одной из совокупностей); пересечение обозначается «и А, и В» (эти вещи принадлежат и той, и другой совокупности); дополнение обозначается «не-А» (эта вещь не принадлежит к этой совокупности, которая сама является частью другой)16.

Перечисленные операции сами по себе, на наш взгляд, также не вскрывают специфически математических характеристик. Указанный перевод с одного «языка» на другой сам по себе не может вскрыть в объекте нового качества. При этом не обнаруживается собственно количественная определенность объектов, то количественное отношение, которое так или иначе исследует математик17. Очевидно, в приведенных описаниях операций и в способах их применения в алгебре фактически скрываются, оставаясь порой не высказываемыми, такие моменты, которые отражают специфику математического подхода к исследованию множеств.

Это обнаруживается в следующих обстоятельствах. При введении указанных операций внимание математиков, прежде всего, направлено на изучение их свойств (или законов), которые проявляются в системе равенств. Так, Р. Курант и Г. Роббинс выделяют 26 таких законов и среди них:

a+b=b+а (1) а+(в+с)=(а+в)+с, (2) A+А=A, (3)

АВ = ВА, (4) А (ВС)=(АВ) С, (5)

АА =А (6)

и др. [26, стр. 166].

Отметим, что законы 1—2 и 4—5 внешне тождественны с коммутативным и ассоциативным законами обыкновенной алгебры; законы 3 и 6 не имеют аналогов в этой алгебр18.

Так, А.Г. Курош пишет: «Операции пересечения и объединения множеств связаны между собой следующими двойственными друг другу законами дистрибутивности:

для любых трех множеств А, В, С

А П (В U С) = (А П В) U(А П С),

А U (В П С) = (А U В) П (А U С)»[27; стр. 9].

В приведенных законах, как это отчетливо видно по их изображению, операции фигурируют не сами по себе, а связанными в определенных отношениях, и эта связь проступает в форме равенств, фиксированных особым знаком («=»).

Суждение «А объединяется с объединенным В и С» само по себе — даже при подразумевании крайне абстрактных элементов — обозначает лишь факт объединения и ничего не говорит относительно его свойств. Но если при этом еще утверждается, что такое объединение тождественно, равно другому (т. е. объединенным А и В, объединяемым g С), то здесь вскрывается специфическое свойство операции, фиксируемое ассоциативным законом, показывающим безразличие порядка соединения множеств для получения конечного результата (аналогичным образом можно рассматривать и другие законы, имеющие внутри своих формул связь «=»).

Но любые ли реальные совокупности («множества») подчиняются ассоциативному закону (и другим законам)?

Законы композиции и понятие математической структуры

Представим себе, что есть три множества: стая старых волков (Л), группа зайцев (В) и стая молодых волчат (С). «Объединим» их следующим образом: вначале В с С. Результатом такого «объединения» будет В U С, ибо вряд ли волчата «сожрут» зайцев. Затем соединим А с (В U С). Вполне возможно, что старые волки займутся «уходом» за волчатами и не тронут зайцев. Результат объединения — А U (В U С). Сохранится ли он, если изменить порядок объединения: вначале соединить А с В, а уже затем полученное с С? Очевидно, не сохранится — волки «сожрут» зайцев, окажется, что здесь ассоциативный закон не действует:

А U (В U С) не равно (А U В) U С.

 

Этот пример наивен только на первый взгляд19. На самом деле введение ассоциативного и других законов предполагает, очевидно, систему ограничений для объектов, которые могут попасть в сферу их приложения. Эти ограничения могут идти как за счет простого «отключения» какой-либо группы объектов из более широкой, так и за счет точного указания системы условий, в которых применяемое правило «работает». Но в обоих случаях мы имеем дело с процессом построения абстракции и построения таких конструкций (математических элементов), которые затем могут быть предметом собственно математических преобразований.

С этой точки зрения нельзя, например, любую реальную («натуральную») совокупность вещей, взятую саму по себе, назвать математическим множеством, а включение или выключение, соединение или пересечение совокупностей — математическими операциями. Реальная совокупность становится математическим множеством, очевидно, лишь тогда, когда она задана в определенных условиях, под углом зрения определенных «ограничений», т.е. через выделение и абстрагирование в ней некоторых свойств или отношений (у Н. Бурбаки — определенной структуры). Что это за свойства? Как они выделяются в реальных объектах, становясь предметом математического анализа? Эти вопросы имеют первостепенное значение для практики конструирования учебной программы в начальном обучении.

Человек, уже практически владеющий математикой, как правило, не осознает тех ограничений, которые позволяют выделить предмет ее операций. Для него он у ж е выделен и выступает в своих собственных характеристиках20. Но для ребенка этот предмет еще скрыт, и его надо выделить из других отношений вещей (например, из физических, химических и т.д.). Представления педагогов о способах выделения нужных отношений существенно влияют на программу начального преподавания математики, на выбор соответствующих понятий, средств их изображения и типа упражнений.

С психологической точки зрения особый интерес как раз и представляет описание тех проблемных ситуаций, для разрешения которых человек создает (и усваивает) определенные способы действий, выделяя необходимые признаки и отношения вещей. Знание этих ситуаций и способов действия позволяет так организовывать процесс обучения, чтобы в голове ребенка своевременно формировались адекватные абстракции, а не цепочки внешних словесных обозначений, непосредственно связанных с многочисленными свойствами вещей.

Трудности описания этих ситуаций и действий проистекают из того обстоятельства, что уже в сложившемся, готовом знании они сняты и даже кажутся излишними. Само это знание как бы непосредственно связано со свойствами вещей, к которым, кстати, прямо и относится²¹.

Это в определенной степени допустимо для общения теоретически развитых «голов», но, к сожалению, в подобную ситуацию» часто попадает обучаемый ребенок, еще не владеющий способами построения данной абстракции. Поэтому ее натурализация, ее опредмечивание приводит, с одной стороны, к потере умения «видеть» свойства самой вещи, с другой — к предметной ограниченности самой абстракции, к ее нежизненности, сколь бы она ни расцвечивалась «конкретными» образами и примерами.

Об этом приходится специально говорить ввиду того, что в современной методике преподавания математики порой слишком поверхностно и формально стали использовать термин множество, вводя его в школьные курсы. Этот термин соотносят с любой предметной совокупностью как некое родовое обозначение (множество яблок, множество стульев и т.д.), полагая, что тем самым подводится «современная» база, например, под понятие числа. Сама тенденция к такому «подведению» базы примечательна и правомерна. Но при этом нельзя останавливаться на том, чтобы просто заменить слова куча, группа словом множество, заведомо не указывая системы специфических условий, приводящих к выделению именно множественного момента в реальных совокупностях (в частности, таким дефектом, на наш взгляд, страдает подведение теоретико-множественной базы под арифметику в широко распространенных пособиях для учителей, написанных И.К. Андроновым [2], [31).

Таким образом, использование понятия множества как основы преподавания математики требует гораздо более широкого контекста, нежели те внешние особенности множества, которые в нем иногда описываются. Оно приобретает смысл и работает внутри особых систем отношений, которым подчиняются определенные категории вещей. Лишь анализ этих отношений выделяет само множество, т. е. объект, обладающий этими отношениями и присущими им законами независимо от физической и прочей другой «конкретной» своей природы. Абстракция множества является следствием выделения определенных отношений между произвольными объектами. Законы, характеризующие эти отношения, выступают как те «ограничения», благодаря которым выделяются и абстрагируются собственно математические моменты22. Знакомство с этими законами является по существу предпосылкой работы с понятием множества.

Но начинать преподавание математики с «алгебры множеств», — значит создать совсем другой учебный предмет, нежели тот, который имеется сейчас в школе23. Сколь реальна эта задача — вопрос особый. Поскольку попытки ее решения уже предпринимаются, а сами понятия «отношение — структура» проникают и в психологические теории мышления (Ж. Пиаже), то целесообразно конкретнее рассмотреть смысл этих понятий.

Выше мы приводили суждение Н. Бурбаки об «объекте» математики: таковым являются математические структуры. Что это такое? «Общей чертой различных понятий, объединенных этим родовым названием, является то, что они применимы к множеству элементов, природа которых24 не определена. Чтобы определить структуру, задают одно или несколько отношений, в которых находятся его элементы...;

затем постулируют, что данное отношение или данные отношения удовлетворяют некоторым условиям (которые перечисляют и которые являются аксиомами рассматриваемой структуры)» [7, стр. 251].

Н. Бурбаки указывает три основных типа математических структур: алгебраические структуры, структуры порядка и топологические (отмечая, что дальнейшее развитие математики вполне возможно приведет к увеличению числа фундаментальных структур, которые не остаются неизменными ни по их числу, ни по их сущности [7, стр. 256])25. Исходной точкой в определении структуры являются отношения, которые могут быть весьма разнообразными.

Упорядочивающим принципом современной математики в целом служит иерархия структур, идущая от простого к сложному, от общего к частному. В центре стоят перечисленные выше основные типы структур — порождающие структуры, которые являются неприводимыми друг к другу. За пределами этого ядра стоят сложные структуры, в которых органически скомбинированы одновременно одна или несколько порождающих структур (топологическая алгебра, алгебраическая топология, теория интегрирования и т.д.). Далее идут частные теории, в которых, как на перекрестках, «сталкиваются и взаимодействуют многочисленные математические структуры, имеющие более общий характер», благодаря чему объекты приобретают «индивидуальность» (теории классической математики — анализ, теория чисел и т.д.) [7, стр. 256].

Такова, согласно Н. Бурбаки, архитектура современной математики, раскрытие которой осуществляется путем движения от общего, фундаментального, производящего, простого к частному, производному, сложному, индивидуальному. Содержание сложных структур можно правильно понять лишь посредством анализа этого движения, перехода, внутри которого органически связываются и взаимодействуют исходные, простые структуры, порождая частные и индивидуальные.

Эта схема развертывания математики как науки имеет прямую связь с теориями построения учебного предмета. Особое значение принадлежит особенностям начальных, исходных структур.

Алгебраическая структура определяется «законом композиции», т. е. таким отношением между тремя элементами, которое определяет однозначно третий элемент как функцию двух первых. Есть два типа этих законов: внутренние и внешние.

«Внутренним законом композиции элементов множества Е называется отображение/некоторого подмножества А произведения Е Х Е в Е. Значение f(x, у) отображения / при (х, у) Е А называется композицией х и у относительно этого закона» [6, стр. 17].

К внутренним законам композиции относятся ассоциативный и коммутативный законы.

«Всюду определенный закон композиции (х, у) ® х Т у элементов множества называется ассоциативным, если, каковы бы ни были элементы х, у, г из Е,

(x T y) T z = x T (y T z)» [6, стр. 23].

«Пусть T — закон композиции элементов множества Е. Элементы х, у из Е называются перестановочными относительно закона T, если хTу и уTх определены и хTу = уTх.

Закон композиции T элементов множества Е называется коммутативным, если для любой пары (х, у) элементов из Е, для которой xТу определено, х и у перестановочны» [6, стр. 28]. (Символ T обозначает здесь произвольный закон композиции.)

«Внешним законом композиции элементов множества Ω, называемого множеством операторов (или областью операторов) закона, и элементов множества Е называется отображение f некоторого множества А с Ω х ЕвЕ. Значение f (а, х), принимаемое | в (а, х) E А, называется композицией а и х относительно этого закона. Элементы из Ω называются операторами закона» [6, стр. 55].

Полное определение алгебраической структуры такое:

«Алгебраической структурой в множестве Е называется всякая структура, определяемая в Е одним или несколькими внутренними законами композиции элементов из Е и одним или несколькими внешними законами композиции операторов из областей операторов и Ω, Q и элементов из Е, причем эти законы могут быть подчинены некоторым условиям (например, ассоциативности, коммутативности и т. п.) или быть связаны друг с другом некоторыми отношениями» [6, стр. 60].

Структура порядка определяется отношением порядка. «...Это — отношение между двумя элементами х, у, которое чаще всего мы выражаем словами «.х меньше или равно у» и которое мы будем обозначать в общем случае xRy. Здесь больше не предполагается, что это отношение однозначно определяет один из элементов х, у как функцию другого. Аксиомы, которым оно подчиняется, таковы:

а) для всех х xRx; b) из соотношений xRy, yRx следует х = у; с) из соотношений xRy, yRz следует хRz» [7, стр. 252].

В топологических структурах находят математическую формулировку понятия «окрестность», «предел», «непрерывность», к которым приводит представление о пространстве [7, стр. 252—253].

Идеи Н. Бурбаки относительно «архитектуры математики» весьма заманчивы для педагогов, логиков и психологов. Возникает перспектива — положить в основу изучения математики знакомство с общими (простыми) структурами и развертывать учебный предмет через их взаимосвязь и переплетение. При обсуждении вопроса о реальности этой перспективы необходимо различать две стороны дела. Первая касается возможности и целесообразности подобного построения курса при тех образовательных целях и тех дидактических средствах, которыми обладает нынешняя массовая школа или школа ближайшего будущего. Здесь есть свои ответы и свои, как правило, «сдержанные» решения, с которыми приходится соглашаться, учитывая «реальные» обстоятельства.

Однако есть и другая сторона — исследовательская, поисковая, связанная с чисто экспериментальным изучением общих проблем построения учебных предметов, в частности математики. Здесь указанные идеи имеют первостепенное значение, ибо создают предпосылки для существенного и оправданного пересмотра представлений традиционной педагогики, для выработки нового понимания природы абстракции и обобщения, связи общего и частного, путей формирования детского мышления и т. д. Иными словами, исследования в этой области могут решить многие трудные вопросы, важные и для «текущих» школьных дел.

Ряд зарубежных публикаций показывает, что некоторые бурбакианские идеи так или иначе, но уже фактически используются в экспериментальных программах и учебниках (в основном это касается средней школы и отдельных разделов курса)26. Так, определенное отражение они нашли, например, в пособии Р. Дэвиса [49], предназначенном для преподавания математики в V и более старших классах американской школы (детям с 10—11 лет). Это пособие нацелено на изучение элементов аксиоматической алгебры, декартовой системы координат (co-ordinate geometry) и функций. Автор пособия, обобщая работу по своему и некоторым другим экспериментальным «проектам», в частности, отмечает, «что четвероклассники, пятиклассники и шестиклассники более восприимчивы к абстрактной математике и подходят к предмету более творчески и оригинально, чем более старшие дети» [49, р. 2].

Некоторые авторы указывают на возможность и целесообразность раннего знакомства детей с понятиями конечной математики, теории вероятностей и т.д.27. При этом выделяется особое значение общих принципов логики для усвоения математики и других дисциплин. В частности, есть предложение первые два года обучения детей в школе специально посвятить ознакомлению их с операциями логического сложения, умножения, включения и т.п. «Эти логические операции, несомненно, являются основой более специальных операций и понятий различных отраслей науки» [5, стр. 45]. (Отметим, кстати, что при такой подготовке можно сравнительно рано вводить и законы «алгебры множеств».)

Поисковые исследования в этой области по сути дела могут быть только комплексными, так как содержат математический, логический, психологический и дидактический аспекты. В плане логико-математическом встают, например, вопросы о порядке введения структур, о круге изучаемых понятий и их связи, об определении состава признаков этих понятий, о разграничении «общих» и «частных» признаков и т.д.

Для психологии проблема, в частности, состоит в том, чтобы выявить ту систему действий ребенка с определенным дидактическим материалом, которая позволяет ему вскрыть, выделить и освоить исходные математические отношения. При этом важно учитывать этапы усвоения, разные формы и степени овладения и применения понятий.

Третью группу вопросов условно можно назвать психолого-дидактическими. Можно ли практически реализовать такую программу в школе? Посильна ли она будет детям и с какого возраста (класса) она должна осваиваться? И главное, какой эффект это даст в отношении как интенсивности усвоения математики, так и его качества? Решение подобных вопросов тесно связано с психологическими сведениями относительно источников, условий и темпа развития детского мышления. Остановимся на этих моментах специально, так как в детской психологии здесь собраны интересные данные.