Логико-психологические проблемы начальной математики как учебного предмета

В.В. Давыдов

(продолжение, начало см. в "Вестнике" № 6)

Психологические предпосылки построения математики как учебного предмета

На первый взгляд, понятия «отношение», «структура», «законы композиции» и др., имеющие сложные математические определения, не могут быть связаны с формированием математических представлений у маленьких детей. Конечно, весь подлинный и отвлеченный смысл этих понятий и их место в аксиоматическом построении математики как науки есть объект усвоения уже хорошо развитой и «натренированной» в математике головы. Однако некоторые свойства вещей, фиксируемые этими понятиями, так или иначе проступают для ребенка уже сравнительно рано: на это имеются конкретные психологические данные.

Прежде всего следует иметь в виду, что от момента рождения до 7—10 лет у ребенка возникают и формируются сложнейшие системы общих представлений об окружающем мире и закладывается фундамент содержательно-предметного мышления. Причем, на сравнительно узком эмпирическом материале дети выделяют общие схемы ориентации в пространственно-временных и причинно-следственных зависимостях вещей. Эти схемы служат своеобразным каркасом той «системы координат», внутри которой ребенок начинает все глубже овладевать разными свойствами многообразного мира. Конечно, эти общие схемы мало осознаны и в малой степени могут быть выражены самим ребенком в форме отвлеченного суждения. Они, говоря образно, являются интуитивной формой организации поведения ребенка (хотя, конечно, все более и более отображаются и в суждениях)¹.

В последние десятилетия особенно интенсивно вопросы формирования интеллекта детей и возникновения у них общих представлений о действительности, времени и пространстве изучались известным швейцарским психологом Ж.Пиаже и его сотрудниками. Некоторые его работы имеют прямое отношение к проблемам развития математического мышления ребенка, и поэтому нам важно рассмотреть их применительно к вопросам конструирования учебной программы.

В одной из своих последних книг, написанной совместно с Б. Инельдер [37], Ж. Пиаже приводит экспериментальные данные о генезисе и формировании у детей (до 12-14 лет) таких элементарных логических структур, как классификация и сериация. Классификация предполагает выполнение операции включения (например, А + А' = В) и операции, ей обратной (В — А' = А). Сериация — это упорядочение предметов в систематические ряды (так, палочки разной длины можно расположить в ряд, каждый член которого больше всех предыдущих и меньше всех последующих).

Анализируя становление классификации, Ж. Пиаже и Б. Инельдер показывают, как от ее исходной формы, от создания «фигурной совокупности», основанной лишь на пространственной близости объектов, дети переходят к классификации, основанной уже на отношении сходства («нефигурные совокупности»), а затем к самой сложной форме — к включению классов, обусловленному связью между объемом и содержанием понятия. Авторы специально рассматривают вопрос о формировании классификации не только по одному, но и по двум-трем признакам, о формировании у детей умения изменять основание классификации при добавлении новых элементов. Аналогичные стадии авторы находят и в процессе становления сериации.

Эти исследования преследовали вполне определенную цель — выявить закономерности формирования операторных структур ума и прежде всего такого их конституирующего свойства как обратимость, т. е. способности ума двигаться в прямом и обратном направлении. Обратимость имеет место тогда, когда «операции и действия могут развертываться в двух направлениях, и понимание одного из этих направлений вызывает ipso facto (в силу самого факта) понимание другого» [36, стр. 15].

Обратимость, согласно Ж. Пиаже, представляет фундаментальный закон композиции, свойственный уму. Она имеет две взаимодополняющие и несводимые формы: обращение (инверсия или отрицание) и взаимность. Обращение имеет место, например, в том случае, когда пространственное перемещение предмета из А в В можно аннулировать, переводя обратно предмет из В в А, что в итоге эквивалентно нулевому преобразованию (произведение операции на обратную есть тождественная операция, или нулевое преобразование).

Взаимность (или компенсация) предполагает тот случай, когда, например, при перемещении предмета из А в В предмет так и остается в А, но ребенок сам перемещается из А в В и воспроизводит начальное положение, когда предмет находился против его тела. Движение предмета здесь не аннулировано, но оно компенсировалось путем соответствующего перемещения собственного тела — и это уже другая форма преобразования, нежели обращение [36, стр. 16].

В своих работах Ж. Пиаже показал, что эти преобразования возникают вначале в форме сенсо-моторных схем (с 10—12 мес.). Постепенная координация чувственно-двигательных схем, функциональная символика и языковое отображение приводят к тому, что через ряд этапов обращение и взаимность становятся свойствами интеллектуальных действий (операций) и синтезируются в единой операторной структуре (в период с 7 до 11 и с 12 до 15 лет). Теперь ребенок может координировать все перемещения в одно по двум системам отсчета сразу — одна мобильная, другая неподвижная.

Ж. Пиаже считает, что психологическое исследование развития арифметических и геометрических операций в сознании ребенка (особенно тех логических операций, которые осуществляют в них предварительные условия) позволяет точно соотнести операторные структуры мышления со структурами алгебраическими, структурами порядка и топологическими [36, стр. 13]. Так, алгебраическая структура («группа») соответствует операторным механизмам ума, подчиняющимся одной из форм обратимости — инверсии (отрицанию). Группа имеет четыре элементарных свойства:

произведение двух элементов группы также дает элемент группы; прямой операции соответствует одна и только одна обратная; существует операция тождества; последовательные композиции ассоциативны. На языке интеллектуальных действий это означает: 1) координация двух систем действия составляет новую схему, присоединяемую к предыдущим; 2) операция может развиваться в двух направлениях;

3) при возвращении к исходной точке мы находим ее неизменной; 4) к одной и той же точке можно прийти разными путями, причем сама точка остается неизменной. «В общем смысле, — пишет Ж. Пиаже, — «группа» есть символический перевод некоторых определенных функциональных свойств действий мышления: возможность координации действий, возможность возвращения и отходов» [36, стр 16]².

Структуре порядка соответствует такая форма обратимости, как взаимность (перестановка порядка). В период от 7 до 11 и от 11 до 15 лет система отношений, основанная на принципе взаимности, приводит к образованию в сознании ребенка структуры порядка [36, стр. 20]³.

Факты «самостоятельного» развития ребенка (т. е. развития, независимого от прямого влияния школьного обучения) показывают несоответствие порядка этапов геометрии и этапов формирования геометрических понятий у ребенка. Последние приближаются к порядку преемственности основных групп, где топология является первой. У ребенка, по данным Ж. Пиаже, вначале складывается интуиция топологическая, а затем он ориентируется в направлении проективных и метрических структур. Поэтому, в частности, как отмечает Ж. Пиаже, при первых попытках. рисования ребенок не различает квадратов, окружностей, треугольников и других геометрических фигур, но прекрасно различает фигуры открытые и закрытые, положение «вне» или «внутри» по отношению к границе, разделение и соседство (не различая до поры до времени расстояния) и т. д. [36, стр. 23].

Поскольку операторные структуры мышления формируются по стадиям, важно представить их схему, намеченную Ж. Пиаже.

С рождения до 2 лет наблюдается стадия сенсо-моторного мышления. В его схемах уже есть обращение и взаимность, но как чисто внешние, двигательные характеристики поведения ребенка (например, отодвигание и обратное приближение предмета к себе).

С 2 до 7 лет наблюдается стадия наглядного мышления (дооперативный период), когда происходит расширение знаний об окружающем, и схемы внешних (предметных) действий переносятся в план представления, становятся мысленно выполняемыми (например, ребенок начинает мысленно выполнять ту систему перемещений, которую до этого делал на предметах). Способность ума к известной подвижности в прямом и обратном направлениях.Ребенок совершенствуется в предметной области, хотя и сталкивается со многими трудностями.

С 7—8 до 11—12 лет имеет место стадия конкретных операций. Умственные действия ребенка приобретают свойство обратимости и определенную структуру, но при решении задач только в предметном плане, а не в плане «чисто» словесных высказываний. Обращение и взаимность существуют раздельно. Операции над классами и отношениями еще элементарны (элементарные «группировки»).

С 11—12 до 14—15 лет наблюдается стадия формальных операций, организумых в структурное целое. Эти операции выполняются теперь и в плане «чистых» суждений (словесных высказываний). Происходит синтез двух структур, ранее основанных раздельно на обращении и взаимности; теперь это целое вполне соответствует структурам алгебраической и порядка.

Смена этих стадий закономерна. Источник же развития ума Ж. Пиаже по сути дела усматривает во внутренней логике становления психики как особой «системы», наподобие органической. Реальная среда (социальные условия) может задерживать или стимулировать ход умственного развития, но не определять, не детерминировать его основное содержание, направление и общие темпы.

В частности, Ж. Пиаже считает, что умственное развитие не есть прямая функция обучения. Здесь могут складываться даже противоречивые тенденции. Так, «самостоятельное», «спонтанное» развитие ведет ребенка от топологических представлений к проективным и метрическим, а в школе курс геометрии, наоборот, начинается с метрики. Нужно считаться с этим самостоятельным развитием и своевременно вводить в обучение то, что подготовлено в процессе формирования операторных структур. Тогда обучение будет ускорять дальнейшее развитие ума ребенка.

Рассмотрим основные положения, сформулированные Ж. Пиаже, применительно к вопросам построения учебной программы. Прежде всего, исследования Ж. Пиаже показывают, что в период дошкольного и школьного детства у ребенка формируются такие операторные структуры мышления, которые позволяют ему оценивать фундаментальные характеристики классов объектов и их отношений. Причем уже на стадии конкретных операций (с 7—8 лет) интеллект ребенка приобретает свойство обратимости, что исключительно важно для понимания теоретического содержания учебных предметов, в частности, математики.

Эти данные говорят о том, что традиционная психология и педагогика не учитывали в достаточной мере сложного и емкого характера тех стадий умственного развития ребенка, которые связаны с периодом от 2 до 7 и от 7 до 11 лет.

Сам Ж. Пиаже эти операторные структуры прямо соотносит с основными математическими структурами. Однако в этом пункте важно рассмотреть следующее обстоятельство. С фактической стороны «перевод» некоторых свойств «группы» на язык операций вполне оправдан и правомерен. Но что является источником такого соответствия? На этот вопрос у Ж. Пиаже нет достаточно четкого и обоснованного ответа. По сути дела его позиция сводится к тому, что математические структуры являются формальным «продолжением» операторных структур мышления [36, стр 16, 27]. Тогда причина соответствия — генетическое родство структур двух типов. Источником такого родства является то, что операторные структуры возникают как абстракция действий, осуществляемых над предметами. Таково же и содержание логико-математической абстракции в отличие, например, от физической, когда абстракция совершается в отношении свойств самого предмета [36, стр 30]⁴.

Итак, источник «соответствия» операторных и математических структур в общем типе абстракции (абстракция действий).

Не вдаваясь в обсуждение того, существует ли такой тип абстракции и каковы его действительные особенности (есть основание полагать, что он существует), правомерно поставить вопрос: в отношении каких реальных объектов вкладываются сами действия, подлежащие последующему абстрагированию? Можно прямо не отвечать на этот вопрос (как это имеет место по сути дела у Ж. Пиаже), и тогда источник соответствия структур можно видеть т о л ь к о в особом типе абстракции, одинаково им свойственном. Попытка же ответить на этот вопрос должна привести к указанию того свойства реальных объектов, выделение и «формализация» которого в действии приводит к возникновению « операторных и математических структур.

Общий ли у них «объект»? Если да, то каков он? У Пиаже указание на него отсутствует, ибо по существу его концепции такого общего объекта не существует — у структур мышления и математических структур общим является лишь тип абстракции. И естественно, что если математические структуры есть «продолжение» ранее складывающихся «операторных структур», то для ребенка действительный предмет математики открывается лишь сравнительно поздно — к 12—15 годам, когда структуры приобретают формальный характер.

Иными словами, математическое мышление возможно лишь на основе уже сложившихся операторных структур (и при этом остается в тени объект этих операций). Это обстоятельство можно выразить и в такой форме: не «знакомство» с математическими объектами и усвоение способов действия с ними определяют формирование у ребенка операторных структур ума, а предварительное образование этих структур (как «координации действий») является началом математического мышления, «выделения» математических структур.

В конечном счете в этом положении определенным образом решается «каверзный» теоретико-познавательный вопрос об источниках математического знания. Его прямо ставит и сам Ж. Пиаже: «...порождены ли математические соотношения деятельностью ума или эта деятельность только открывает их как некую внешнюю реальность, действительно существующую» [36, стр. 101]. Ж. Пиаже не отвечает на этот вопрос вполне определенно. С одной стороны, он признает внешний источник математических знаний, с другой стороны, фактическим сопоставлением операторных и математических структур приходит к тому, что последние «порождены деятельностью ума». В данном пункте необходим более детальный анализ позиции Ж. Пиаже, отметим только, что от решения указанного выше вопроса зависит подход к пониманию источников математического мышления, а следовательно, и условий его формирования.

С нашей точки зрения, математические отношения есть объективная реальность, есть отношения действительно существующих вещей. Деятельность ума лишь открывает их, и по мере раскрытия их содержания формируется и сама. С этими отношениями ребенок, по-видимому, сталкивается очень рано: в 2—3 года он уже практически осваивает многие зависимости и связи вещей, имеющие математическую природу. Это пространственно-временные характеристики объектов, обладающие количественной определенностью. Очевидно, в процессе знакомства с ними, осуществляющегося в ходе практически-предметных манипуляций, складываются «операторные структуры» (в частности, «обратимость»), которые тем самым с самого начала выступают как характеристики реального математического мышления ребенка. Такое мышление еще не есть научно-математическое, но уже имеет дело с такими отношениями вещей, которые обладают математической характеристикой. Углубление в количественную определенность предметных отношений приводит, в частности, к формированию классификации и сериации, которые являются, очевидно, практическими преобразованиями математического характера, т. е. не «логическими» структурами, как полагает Ж. Пиаже, а практическими способами выделения и фиксации некоторых математических отношений. При этом «обратимость» является механизмом осуществления этих способов действия с объектами. В таком случае становится понятным факт соответствия свойств операторных и математических структур — первые с самого начала формируются как умственные механизмы ориентации ребенка в общих математических отношениях.

Здесь также «генетическое родство», но не на основании общего типа абстракции, а на основе общего объекта, ориентация в котором требует и определенного типа абстракции. Конечно, перед генетической (детской) психологией встает трудная проблема — выявить характеристику этого объекта, формы его «открытия» ребенком и причины, обусловливающие «открытие» именно тех свойств вещей, которые на вершинах формально-математического анализа описываются как особые отношения и структуры. Таким образом, встает экспериментальная проблема выявления причин и условий соответствия операторных структур мышления и математических структур, которое столь детально прослежено в работах Ж. Пиаже.

Рассмотрение результатов, полученных Ж. Пиаже, позволяет сделать ряд существенных выводов применительно к конструированию учебной программы по математике. Прежде всего фактические данные о формировании интеллекта ребенка с 2 до 11 лет говорят о том,что ему в это время не только не «чужды» свойства объектов, описываемые посредством математических понятий «отношение — структура», но последние сами органически входят в мышление ребенка.

Традиционные программы не учитывают этого обстоятельства (особенно в области обучения геометрии). Поэтому они не реализуют многих возможностей, таящихся в процессе интеллектуального развития ребенка.

Материалы, имеющиеся в современной детской психологии, позволяют положительно оценивать общую идею построения такого учебного предмета, в основе которого лежали бы понятия об исходных математических структурах. Конечно, на этом пути возникают большие трудности, так как еще нет опыта построения такого учебного предмета. В частности, одна из них связана с определением возрастного «порога», с которого осуществимо обучение по новой программе. Если следовать логике Ж. Пиаже, то, видимо, по этим программам можно учить лишь тогда, когда у детей уже полностью сформировались операторные структуры (с 14—15 лет). Но если предположить, что реальное математическое мышление ребенка формируется как раз внутри того процесса, который обозначается Ж. Пиаже как процесс складывания операторных структур,то эти программы можно вводить гораздо раньше (например, с 7—8 лет), когда у детей начинают формироваться конкретные операции с высшим уровнем обратимости. В «естественных» условиях, при обучении по традиционным программам, формальные операции, возможно, только и складываются к 13—15 годам. Но нельзя ли «ускорить» их формирование путем более раннего введения такого учебного материала, усвоение которого требует прямого анализа математических структур?

Мы полагаем, что такие возможности есть. К 7—8 годам у детей уже в достаточной мере развит план мыслительных действий, и путем обучения по соответствующей программе, в которой свойства математических структур даны «явно» и детям даются средства их анализа, можно быстрее подвести детей к уровню «формальных» операций, чем в те сроки, в которые это осуществляется при «самостоятельном» открытии этих свойств.

При этом важно учитывать следующее обстоятельство. Есть основания полагать, что особенности мышления на уровне конкретных операций, приуроченном Ж. Пиаже к 7—11 годам, сами неразрывно связаны с формами организации обучения, свойственными традиционной начальной школе. Это обучение (и у нас, и за рубежом) ведется на основе предельно эмпирического содержания, зачастую вообще не связанного с понятийным (теоретическим) отношением к объекту⁵. Такое обучение поддерживает и закрепляет у детей мышление, опирающееся на внешние, прямым восприятием уловимые признаки вещей.

Связь «феноменов» развития детского мышления, обнаруженных Ж. Пиаже, с организацией обучения, формирующего у ребенка такое мышление, отмечена, например, П.Я. Гальпериным [12, стр. 35—36]. Вместе с тем специальное исследование, проведенное П.Я. Гальпериным и Л.С. Георгиевым [13], вскрыло важный факт. Меняя организацию и содержание обучения детей-дошкольников начальным математическим понятиям, они обнаружили закономерное исчезновение некоторых «феноменов», ранее обнаруженных Ж. Пиаже у детей этого возраста. Особое значение в новой организации обучения имело более раннее введение средств измерения количественной характеристики объектов, что «снимало» возможность ее оценки детьми лишь по впечатлению, по признаку, господствующему в непосредственном восприятии (как раз преимущественная ориентация ребенка на этот признак и свойственна «феноменам» Пиаже).

В своем экспериментальном исследовании особенностей счета у детей-первоклассников, осваивающих сведения о числе по традиционной программе, мы также обнаружили наличие у многих из них тенденции к непосредственной оценке количественной характеристики объектов. Эти дети ориентировались в основном на внешне воспринимаемые признаки предметных совокупностей, игнорируя наперед данное им основание счета, отличающееся от непосредственных свойств элементов совокупностей [17]. Этот факт, аналогичный «феноменам» Пиаже, закономерен для принятой в школе системы знакомства ребенка с числом и счетом. Однако изменение этой системы, иная организация всей работы детей, подводящей их к понятию числа, снимает (попросту устраняет) подобные «феномены». Если знакомство с числом с самого начала строить на основе действия, определяющего отношение целого и части (любого целого и любой части), то все дети с первых дней пребывания в I классе правильно определяют числовую характеристику совокупностей, не «сползая» к ее оценке по непосредственному впечатлению от них. Правда, такое обучение дает ребенку и другую абстракцию, нежели ту, которую он получает по традиционной программе, но как раз в этом и состоит задача иной организации дела, с самого начала формирующей у ребенка умение действовать с особыми «эталонами» как средствами ориентации в окружающем (работа, связанная с таким обучением счету, подробно описана в работе Е.С. Орловой [34].

Отмечая большое значение исследований Ж. Пиаже, П.Я. Гальперин вместе с тем пишет: «В теории подлинную проблему составляет переход от непосредственного мышления к мышлению опосредствованному... Этот переход диктуется не только логикой постепенного овладения «интеллектуальными операциями», как полагает Пиаже, а фактической организацией перехода к «орудийному мышлению», организацией усвоения действий по использованию эталонов, мер, этих подлинных орудий интеллектуальной деятельности, фактической организацией формирования опосредствованного мышления в смысле Л.С. Выготского» [12, стр. 36]⁶. На наш взгляд, лишь в контексте экспериментального решения этой общей проблемы можно судить о действительных особенностях детского мышления, об этапах и темпах его развития. Последние сами являются производными от конкретных способов фактической организации обучения, в частности от того, в какой степени и в какие возрастные периоды дети осваивают подлинные «эталоны» (или понятийные «нормы») умственной деятельности. Вместе с тем в контексте этой проблемы будут решаться вопросы о так называемых возрастных особенностях детского мышления, которые по сути дела могут быть лишь относительными, зависящими от «фактической организации» формирования мышления в процессе обучения (в широком смысле этого слова).

Важнейшим моментом, составляющим эту «организацию», является содержание учебных предметов, которое в свою очередь тесно связано с типом учения (в смысле, развиваемом П.Я. Гальпериным [11]). Изменяя определенным образом содержание и тип учения, можно экспериментально изучать оптимальные условия формирования опосредствованного мышления, а тем самым выявлять психологические предпосылки конструирования учебных предметов.

Таким образом, в настоящее время имеются фактические данные, показывающие тесную связь операторных структур детского мышления и общематематических структур, хотя «механизм» этой связи далеко не ясен и почти не исследован. Наличие этой связи открывает принципиальные возможности (пока лишь возможности!) для построения учебного предмета, развертывающегося по схеме «от простых структур — к их сложным сочетаниям». Одним из условий реализации этих возможностей является изучение перехода к опосредствованному мышлению и его возрастных нормативов. Указанный способ построения математики как учебного предмета сам может быть мощным рычагом формирования у детей такого мышления, которое опирается на достаточно прочный понятийный фундамент.

Некоторые общие вопросы определения содержания учебных предметов

Приведенные выше материалы позволяют выделить некоторые ведущие логико- психологические предпосылки построения традиционного курса математики как учебного предмета.

Прежде всего здесь в том или ином виде содержится предположение о том, что курс необходимо начинать с относительно простого понятия, с первой абстракции. Таким понятием полагается число.

Мы попытались показать, что в системе современных общематематических понятий число не является ни простым, ни первым. Принятие его за «начало» по существу противоречит самой указанной предпосылке. «Простота» его усвоения не есть синоним «простоты» понятия числа с точки зрения его действительного содержания как предполагаемого фундамента школьной математики. Это довольно сложная абстракция, требующая многих более «простых» оснований⁷.

Наличие этого противоречия обнаруживается, например, в том, что в настоящее время крепнет тенденция к введению таких оснований в начальном курсе математики (одним из них выступает понятие множества и т. д.).

Одним из аргументов в защиту числа как «начала» служит указание на то, что оно было первым и в истории самой математики⁸. В этом аргументе отражается еще одна предпосылка построения курса — увязывание его «начала» с историей знания.

Но являлось ли это понятие «первым» в истории математического знания? И с какой точки зрения целесообразно подходить к истории понятий?

Многочисленные факты свидетельствуют о том, что в истории человечества (как, впрочем, и в онтогенезе) категории «количества», «порядка» и ряд других возникли и употреблялись еще до их выражения в специфически числовой форме. Вряд ли можно проходить мимо этого существенного момента.

Далее, как показывает математическая теория, некоторые абстрактные з а к о н ы современной алгебры неразрывно связаны с простейшими вычислениями и просвечивают в них: «В математике существует немного понятий, которые были бы первичнее понятия «закон композиции»: оно кажется неотделимым от элементарных вычислений с натуральными числами и измеримыми величинами» [7, стр. 64]⁹.

Авторы традиционных способов построения учебного предмета, с одной стороны, игнорируют «дочисловые», «неарифметические» средства анализа математических отношений, с другой стороны, не выделяют явлений, связанных с композиционностью и присущих тем же вычислениям, но не только (и не столько) им. И то, и другое возможно лишь постольку, поскольку сама история знания заранее просматривается с точки зрения ведущего положения «целого числа». Здесь определенная теория служит ориентиром в истории¹⁰.

Но, как было показано выше, существует и другая теория, где ведущее значение имеют понятия «отношение — структура». С этой точки зрения и в самой истории знания могут быть выявлены и прослежены моменты, обычно не улавливаемые. В частности, может быть намечена тесная связь действий над натуральными числами и законов композиции. И дело не в том, что при этом сохраняются «вычисления», а в том, что будет в центре внимания анализирующего человека — частные ли особенности частных же объектов или более общие способы их преобразования¹¹.

В эмпирической истории последовательность смены исчислений шла в направлении от «числа» к «операциям». В прямом следовании этой истории строится и учебный предмет. Правильный тезис о необходимости начинать курс с истоков знания фактически оборачивается здесь подчинением схемы учебного предмета внешней, эмпирической истории науки. Подобный «историзм» превращается во внешний хронологизм. Иными словами, при решении вопроса о связи исторического и логического в учебном предмете предпочтение отдается историческому, которое зачастую берется в его конкретной эмпирической форме¹².

Это обстоятельство позволяет обнаружить еще одну предпосылку традиционного построения учебного предмета. Материал в нем развертывается так, чтобы по ходу его усвоения у ребенка постепенно формировалось обобщение, выступающее конечным итогом продвижения в этом материале. В истории знания общие принципы (обобщения) выделяются сравнительно поздно. Поэтому и при обучении необходимо сохранить постепенный переход к общему, к абстракции. Например, ребенок вначале должен освоить технику работы с целыми числами (с частными математическими «объектами») и лишь затем переходить к оперированию буквенными символами, отражающими более общие «объекты». Несколько лет ребенок должен накапливать представления о частных случаях функциональной зависимости и лишь сравнительно поздно получить понятие о функции и общих способах ее описания.

Такое построение учебного предмета исходит из предположения, будто общее лишь вытекает из совокупности частных «конкретных» знаний, лишь следует из них, венчает их. Сами же эти частные знания существуют карят с общим и такими, какими были до него¹³. В таком случае создается своеобразное положение: для овладения частными сведениями нет нужды в их общем освещении, а знание последнего не меняет сути частного.

Такое понимание обобщения вполне соответствует развертыванию учебного предмета сообразно эмпирической хронологии формирования самого научного знания.

Однако в подлинной истории науки и в соответствующем процессе усвоения знаний общее и абстракция играют иную роль, чем ту, которую им отводят в традиционной педагогике и педагогической психологии. Появление в науке тех или иных новых общих идей существенно влияет и на понимание ранее исходных, простых, отправных ее пунктов. Идеи «верха» неизбежно меняют способ закладки фундамента, который теперь сам получает отсвет от «поздних» общих идей. Здесь общее не только вытекает из частного, но и меняет, перестраивает весь облик, все соподчинение породивших его частных знаний.

Применительно к математике этот момент в яркой форме выражен, например, в следующем высказывании А. Лихнеровича: «Существенное затруднение и основное препятствие в преподавании в историческом плане заключается в характерной для математики особенности думать и передумывать про все целиком, но это же является и залогом ее прогресса... В силу самой общности математики уяснение первоначальных понятий и теорем подвергается неизбежной и полной переработке. То, что являлось первоначальным этапом на пути исканий, превращается в простое упражнение при новых точках зрения» [29, стр. 55—56] (разрядка наша. — В.Д.).

Учебный предмет, конечно, должен соответствовать истории науки, но истории, уже выраженной в теоретической форме, в логическом, которое в очищенном от случайностей виде концентрирует в себе и истоки знания.

Различение подлинного историзма и внешнего хронологизма в каждом отдельном случае выступает как особая исследовательская задача. Отметим, что здесь порой нельзя ориентироваться лишь на терминологию. Так, возражая против засилья «исторического плана» в преподавании, А. Лихнерович [29] имеет в виду по сути дела «хронологизм». Защита же «исторического плана» иногда выступает как требование подлинного единства теории и истории. Например, в предисловии к книге «Преподавание математики» говорится, будто Ж. Дьедонне (крупнейший французский математик) «придерживается идеи введения математических структур, следуя исторической перспективе» [20, стр. 8]. Анализ содержания статьи самого Ж. Дьедонне [20] обнаруживает примечательное обстоятельство: выделяя определенные исторические ступени математической абстракции, он вместе с тем категорически выступает против слепого следования в преподавании приемам мышления, присущим древним¹⁴. Он требует поиска связи «исторической перспективы» с современными идеями.

Вот как Ж. Дьедонне формулирует задачу преподавания математики: «Мы склонны в наши дни, в частности среди преподавателей... ухищряться маскировать или уменьшать возможно дольше абстрактный характер математики. Это, на мой взгляд, большое заблуждение. Конечно, речь идет не о том, чтобы с самого начала поставить детей перед лицом очень абстрактных понятий, но чтобы по мере развития их ума они этими понятиями овладевали и чтобы математика представилась бы в своем настоящем виде, когда у них сформируются структуры мысли... Сущность математического метода должна стать основой преподавания, а преподаваемый материал представляться лишь хорошо выбранной иллюстрацией» [20, стр. 41].

Ж. Дьедонне полагает, что при учете исторической перспективы развития алгебры необходимо откровенно показывать детям ее абстрактную суть, воспитывать у них способность к абстракции, к использованию ее теоретической силы.

Теоретическое выражение истории знания совпадает с постепенным раскрытием общих идей, с переходом от простых, первых и «пустых» абстракций к сложным, производным и конкретным понятиям. Знание развертывается здесь от абстрактного (одностороннего, крайне «тощего») к. конкретному (многостороннему, единству многообразного).

Именно этот путь — путь восхождения от абстрактного к конкретному — соответствует теоретическому способу мысленного воспроизведения действительности, способу, разрабатываемому в диалектической логике.

И в этом пункте способы построения учебного предмета не могут не иметь чего-то принципиально общего с научным мышлением, так как у них единая цель — воспроизведение в голове человека конкретного знания об объекте. Учебный предмет обладает особыми чертами в отличие от «чистой» науки, ибо он специально призван формировать сами мыслительные способности индивидов, для чего необходимы и свои дидактические средства, но в основе он сходен с теорией: и там, и здесь осуществляется движение от простого к сложному, от абстрактного к конкретному, от одностороннего к единству многообразного¹⁵.

Таким образом, реализация логико-психологических предпосылок построения учебного предмета тесно связана с теорией обобщения и абстракции. От понимания отношения общего и частного, логического и исторического, эмпирического и теоретического во многом зависит выбор исходных понятий учебного предмета при данном уровне развития соответствующей науки, а также принцип развертывания этих понятий.

Теория обобщения, лежащая в основе построения традиционного курса математики, характеризует процесс сведения эмпирических знаний к общему, абстрактному их описанию. Но при этом не раскрывается обратное воздействие абстракции на «обработку» эмпирических, частных знаний. Эта теория в сущности игнорирует собственную логику абстракции, логику теоретической формы знания, которая позволяет еще и выводить конкретное из абстрактного, двигаться в конкретном содержании самих понятий¹⁶.

Отсюда боязнь абстракции (см. остроумное описание этого момента у Ж. Дьедонне [20]), неумение работать с нею (ведь стало притчей во языцах мнение о «трудностях» усвоения математики), применение различных «ухищрений», упрощающих преподавание математики (его методика является самой разработанной среди других частных методик, и при всем этом традиционный школьный курс едва только «дотянулся» до идей математики XVII в.).

Обновление способов построения курса математики, в частности, исследование возможности строить его на основе понятий «отношение — структура», предполагает, на наш взгляд, иную теорию обобщения — теорию, раскрывающую «механизмы» работы с самими понятиями, работы по выведению конкретного знания через взаимосвязь абстракций. Такой теорией является диалектико-материалистическая теория о соотношении всеобщего, особенного и единичного в познании, о формах теоретического обобщения и. его связи с историей познания. Анализ этих проблем, поставленных в свое время Гегелем, а затем классиками марксизма-ленинизма, все шире и глубже проводится в нашей философской литературе (отсылаем читателя к работам Б.М. Кедрова [24], Э. В. Ильенкова [22], 3.М. Оруджева [35], Ж. Абдильдина, А. Касымжанова, Л. Науменко, М. Баканидзе [1] и др.).

В психологических и дидактических исследованиях необходимо раскрыть особенности деятельности детей по усвоению тех форм обобщения, которые указываются в этой теории, а также особенности построения учебных предметов, обеспечивающих развитие именно такого пути обобщения. Иными словами, встает большая исследовательская задача по определению средств развития у детей теоретического мышления (в психологической терминологии — опосредствованного мышления), принцип которого состоит в переходе от абстрактно-всеобщих определений к конкретно-частным описаниям объекта. Решение этой задачи является, на наш взгляд, общим условием построения такого учебного предмета, который соответствовал бы требованиям современных идей науки. В противном случае любые «революции» будут приводить лишь к внешним изменениям традиционной программы, часто противоречащим смыслу ее установившегося содержания. Пример последнего — намечающееся во многих методических работах использование теоретико-множественных характеристик. «Множество» — это сугубо теоретическое определение, имеющее смысл только внутри особой системы подхода к математическому моделированию объектов (см. стр. 77). В этой системе на сегодняшний день исходным является момент «отношение - структура». Найти способ ее изображения и раскрытия детям 7-8 лет — это проблема поиска «начала» курса математики. Но именно ее и обходят многие, ибо введение «отношения» требует другой логики, другой теории обобщения, нежели та, которой обычно руководствуются. «Множество» (вернее, «квазимножество») дается как непосредственная, внешняя, родовая характеристика совокупностей объектов, поэтому оно и лишено внутренне-математического движения, «раскручивания» (кстати, подобные «реформы» безболезненно воспринимаются самыми последовательными сторонниками традиционного курса математики).

Любое отношение (на особом уровне анализа — структура) — объект глубокой абстракции и вместе с тем начало понятия (именно н а ч а л о, а не конец, как принято думать в традициях локковско-миллевской логики). Для его введения в преподавание требуются особые знаковые средства (см. их общую характеристику в работе Г.П. Щедровицкого [44]. Недостаточное знание о последних — серьезное препятствие для исследования теоретической формы обобщения и для изучения путей ее формирования в обучении. При этом важно иметь в виду, что отношение — структура — предмет усвоения особого типа, который по-настоящему еще не изучался педагогикой и психологией (некоторые его особенности были отмечены в свое время Л.С. Выготским [10 ])¹⁷. Комплексное исследование закономерностей усвоения такого типа — задача, от решения которой во многом зависит построение математики как современного учебного предмета и, в частности, определение действительного содержания его начальных разделов.

Статья рекомендована для публикации Б.Д. Элькониным и Л.В. Берцфаи.

Статья взята из книги «Возрастные возможности усвоения знаний (младшие классы школы)».
Под редакцией Д.Б. Эльконина и В.В. Давыдова, «Просвящение» – Москва, 1966.

ЛИТЕРАТУРА

1. Абдильдин Ж., Касымжанов А., Науменко Л., Баканидзе М. Проблемы логики и диалектик познания. — Алма-Ата: АН Каз. ССР, 1963.
2. Андронов И.К. Арифметика натуральных чисел. — М.: Учпедгиз, 1954.
3. Андронов И.К. Арифметика. Развитие понятия числа и действий над числами. — М.: Учпедгиз, 1959.
4. Болтянский В.Г., Виленкин Н.Я., Яглом И.М. О содержании курса математики в средней школе. // Математическое просвещение, вып. 1. — М., Физматгиз, 1959.
5. Брунер Дж. Процесс обучения. Пер. с англ. — М.: АПН РСФСР, 1962.
6. Бурбаки Н. Алгебра. Пер. с франц. — М.: Физматгиз, 1962.
7. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. Пер. с франц. — М.: ИЛ, 1963.
8. Виленкин Н.Я. О некоторых аспектах преподавания математики в младших классах // «Математика в школе» — 1965. — № 1.
9. Вогели Б.Р. Модернизация преподавания математики в американской школе // «Математика в школе» — 1964. — № 4.
10. Выготский Л.С. Избранные психологические исследования. — М.: АПН РСФСР, 1956.
11. Гальперин П.Я. Развитие исследований по формированию умственных действий. // Психологическая наука в СССР. Т. I. — М.: АПН РСФСР, 1959.
12. Гальперин П.Я. Основные результаты исследований по проблеме «Формирование умственных действий и понятий». — М., 1965 (на правах рукописи).
13. Гальперин П.Я. Георгиев Л.С. Психологические вопросы формирования начальных математических понятий у детей. — Доклады АПН РСФСР — 1961. — № 1.
14. Глейгевихт Б. Об основных понятиях общей алгебры // Математика в школе. — 1964. — № 2.
15. Гонин Е.Г. Теоретическая арифметика. — М.: Учпедгиз, 1959.
16. Гудстейн Р.Л. Математическая логика. Пер. с англ. — М.: ИЛ, 1961.
17. Давыдов В.В. Анализ строения счета как предпосылка построения программы по арифметике. // Вопросы психологии учебной деятельности младших школьников. — М.: АПН РСФСР, 1962.
18. Давыдов В.В. Опыт введения элементов алгебры в начальной школе. // Советская педагогика — 1962. — № 8.
19. Давыдов В.В. Об изменении содержания начального обучения. // Советская педагогика — 1964. — № 4.
20. Дьедонне Ж. Абстракция в математике и эволюция алгебры. // Преподавание математики. Пер. с франц. — М.: Учпедгиз, 1960.
21. 3апорожец А.В., Эльконин Д.Б. (ред). Психология детей дошкольного возраста. Развитие познавательных процессов. — М.: АПН РСФСР, 1963.
22. Ильенков Э.В. Диалектика абстрактного и конкретного в «Капитале» Маркса. — М.: АН СССР, I960.
23. Ильенков Э.В. Школа должна учить мыслить. // Народное образование. — 1964. — № 1, (приложение).
24. Кедров Б.М. Оперирование научными понятиями в диалектической и формальной логике. // Диалектика и логика. Формы мышления. — М.: АН СССР, 1962.
25. Кольман Э. Предмет и метод современной математики. — М.: Соцэкгиз, 1936.
26. Курант Р. и Роббинс Г. Что такое математика. Пер. с англ. — М.-Л.: ОГИЗ, 1947.
27. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. — М.: Физматгиз, 1962.
28. Лебег А. Об измерении величин. Пер. с франц. с предисловием А.Н. Колмогорова, изд. 2, М.: Учпедгиз, 1960.
29. Лихнерович А. Проникновение духа современной алгебры в элементарную алгебру и геометрию. // Преподавание математики. Пер. с франц. — М.: Учпедгиз, 1960.
30. Маркушевич А.И. К вопросу о реформе школьного курса математики. // Математика в школе. — 1964. — № 6.
31. Меморандум американских математиков. Пер. с англ. // Математика в школе. — 1964. — № 4.
32. Менчинская Н. А., Моро М. И. Вопросы методики и психологии обучения арифметике в начальных классах. — М.: Просвещение, 1965.
33. Объем знаний по математике для восьмилетней школы // Математика в школе. — 1965. — № 2.
34. Орлова Е.С. Обучение счету на основе измерения. // Наш опыт учебно-воспитательной работы в школе. — М.: АПН РСФСР, 1962.
35. Оруджев 3.М., К. Маркс и диалектическая логика. — Баку: Азербайджанское гос. изд-во, 1964.
36. Пиаже Ж. Структуры математические и операторные структуры мышления. // Преподавание математики. Пер. с франц. — М.: Учпедгиз, 1960.
37. Пиаже Ж. и Инельдер Б. Генезис элементарных логических структур. Пер. с франц. — М.: ИЛ, 1963.
38. Поляк Г.Б. Преподавание арифметики в начальной школе. — М.: Учпедгиз, 1959.
39. Попова Н.С. Методика преподавания арифметики в начальной школе. — Л.: Учпедгиз, 1955.
40. Розенбаум Е.П. Преподавание элементарной математики в США. // Математическое просвещение. Вып. 6. — М.: Физматгиз, 1961.
41. Страшевич С. Отношения между арифметикой и алгеброй в преподавании математики детям в возрасте до 15 лет // Математика в школе. —1965. — № 2.
42. Шевченко И.Н. Методика преподавания арифметики в V—VI классах. — М.: АПН РСФСР, 1961.
43. Шимина А.Н. Принцип единства конкретного и абстрактного и его значение для дидактики // Советская педагогика. — 1963.— № 11.
44. Щедровицкий Г.П. Проблемы методологии системного исследования. — М.: Знание, 1964.
45. Щедровицкий Г.П. Место логических и психологических методов в педагогической науке // Вопросы философии. — 1964. — № 7.
46. Эльконин Д.Б. Детская психология. — М.: Учпедгиз, 1960.
47. Эльконин Д.Б. О теории начального обучения. // Народное образование. — 1963. — № 4.
48. Эльконин Д.Б. и Давыдов В.В. Некоторые психологические проблемы построения учебных программ // Тезисы докладов на II съезде Общества психологов. Вып. 5. — М.: АПН РСФСР, 1963.
49. Davis, Robert В. Discovery in mathematics. A text for teachers. California—London, 1964.
50. Goals for School Mathematics. The Report of the Cambridge Conference on School Mathematics. Boston, 1963.
51. Suppes, Patrick. Sets and Numbers. Book IA. N. Y., 1962.
52. The Revolution in School Mathematics. A Challenge for Administrators and Teachers. Washington, 1963.

---

1. Формирование общих схем ориентации у ребенка дошкольного возраста прослеживалось в работах многих советских и зарубежных авторов. Часть этих исследований обобщена, например, в книге Д.Б. Эльконина [21].
2. Например, формирование такой логической структуры, как классификация, содержащей включение части в целое, предполагает, по Ж.Пиаже, алгебраическую структуру [36, стр. 18].
3. Формирование сериации как логической структуры является процессом "открытия" того вида отношения, который дает структуру порядка.
4. Общий анализ концепции Ж. Пиаже в области развития психики ребенка, а также характеристика его теоретико-познавательных позиций дана А.Н. леонтьевым и О.К. Тихомировым в послесловии к указанной выше работе [37].
5. Анализ эмпирического характера содержания начального обучения проведен Д.Б. Элькониным [47]. Некоторые причины, объясняющие эмпиризм содержания учебных предметов начальной школы, указаны нами в другой работе [19].
6. Выдающийся советский психолог Л.С, Выготский еще в начале тридцатых годов сфорулировал ряд глубоких теоретических положений относительно общих условий формирования опосредованного мышления и роли в нем общественно выработанных средств деятельности ("орудий и знаков") [10].
7. Примечательно следующее высказывание Ж. Дьедонне: "Отметим, что, хотя они [понятия числа, пространства, времени] и служат нуждам практики, эти понятия все же очень абстрактны..." [20, стр. 42].
8. "Математическая абстракция прошла за тысячелетия существования математической науки три ступени... Первая ступень принадлежит тому времени, когда зародилась математическая наука, к моменту самого ее возникновения. На этой ступени абстракции родилось первое основное понятие, с которым работает математика, - понятие числа" [25, стр. II].
9. У Н. Бурбаки подробно описывается связь понятия закона композиции с классическими математическими теориями, а также показываются пути его постепенного вычленения и формирования в абстрактном виде [7, стр. 64-72].
10. Связь "арифметизации" математики с вполне определенным конкретно-историческим уровнем развития ее идей и средств анализа прослеживается у Н. Бурбаки [7, стр. 35-37].
11. Известный французский педагог и математик А Лихнерович следующим образом описывает результаты игнорирования этой oсвязи: "...Она [классическая арифметика] излагается в стиле начала XIX столетия и... представляет собой вид смешного преклонения перед операциями, скрытый смысл которых не зависит от чисел, над которыми она оперирует. Наши учащиеся, какими мы их получаем, верят в существование сложения и умножения, действующих а абсолютно бесконечной вселенной" [29, стр. 55].
12. Этот момент так или иначе, но одинаково справедливо критикуют многие авторы. Приведем некоторые высказывания. "Нам нужно... добиться такого преподавания, которое даже с самого начала было бы более близким к жизни нашей науки... Я не думаю, что для достижения этой цели нам нужно строить преподавание в историческом плане" [29, стр. 55]. "Многие задачи, которые сейчас решают в начальной школе, дошли до наших времен из древности. Они отличаются от задач, решавшихся в вавилонских школах, лишь внешней формой, а не математическим содержанием... Чрезмерное увлечение арифметикой приводит к плохому знанию математики" [8, стр. 19].
13. Это понимание соотношения общего и частного, принятое в дидактике и частной методике, имеет глубокие корни в тех теориях абстракции и обобщения, которые сами опираются на классический сенсуализм (философский аспект этой проблемы рассмотрен, например, в работе А.Н. Шиминой [43]).
14. Ж. Дьедонне резко отрицательно относится, в частности, к обучению приемам решения задач посредством рассуждения каждый раз ad hoc [для этой цели], известным еще вавилонянам: "Их [этих приемов] почтенная древность, несомненно, служит причиной тому, что эти правила остаются такими, какими их преподают в наши дни, несмотря на неоднократные протесты математиков: если признать доказанным, что ребенок 10 лет не может понять механизма уравнений первой степени с одним неизвестным, пусть подождут несколько лет, но не вдалбливают ему в голову множество ненужных приемов" [20, стр. З].
15. Развернутое изложение диалектико-материалистической теории восхождения от абстрактного к конкретному содержится например, в книге Э.В. Ильенкова [22]. Анализ содержания некоторых учебных предметов и способов их построения с точки зрения этой теории проведен Э.В. Ильенковым в специальной работе [23].
16. Процессы "сведения" и "выведения", как они понимаются в современной логике, нельзя отождествлять с "индукцией" и "дедукцией" в их классическом миллевском понимании (см. анализ этих понятий в работах Э.В. Ильенкова [22], Г.П. Щедровицкого 144] и др.).
17. Здесь речь идет об усвоении, проходящем в специальных условиях целенаправленного обучения. Общий психологический анализ роли отношения - структуры в мышлении ребенка проведен, например, в работах Ж. Пиаже [36], [37] (см. их краткое изложение на стр. 83-87).